Systèmes dynamiques – Une introduction

Ce livre est issu d'un cours professé pendant plusieurs années à l'Université Pierre et Marie Curie, en maîtrise de mathématiques. Sa lecture ne nécessite pas de connaissances préalables autres que celles habituellement enseignées dans un cours de Calcul différentiel en licence de mathématiques. Le lecteur pourra trouver ces connaissances, par exemple, dans l'ouvrage Calcul différentiel de la même collection, par Anne Cot, Gilles Christol et l'auteur du présent livre. L'étude des systèmes dynamiques offre une occasion d'illustrer l'utilisation des grands théorèmes enseignés en Calcul différentiel (inversion locale, fonctions implicites,…) pour des applications précises. De plus, elle permet d'accéder rapidement à des sujets de recherche actuels. Afin de rendre cet ouvrage facilement accessible, nous avons choisi de présenter la théorie dans le cadre des espaces affines de dimension finie, plutôt que dans celui des variétés différentiables. Cela suffit pour l'introduction et l'étude de la plupart des notions ayant un caractère local. Cependant, les variétés différentiables apparaissent inévitablement, même lorsque les systèmes dynamiques considérés sont définis sur un ouvert d'un espace affine (ne serait-ce que sous forme de variétés stable et instable d'un point d'équilibre hyperbolique). Nous avons donc présenté les quelques notions de géométrie différentielle nécessaires pour la compréhension de ce livre dans un dernier chapitre, avec d'autres compléments. Le lecteur n'en aura pas besoin avant le chapitre V ; aguerri par l'étude des quatre premiers chapitres il pourra, lorsqu'il en éprouvera le besoin, se reporter au chapitre VII où il trouvera un exposé bref, mais rigoureux et complet, de toutes ces notions.